毎分５の割合で水が流れこんでいる水そうがあります。この水そうに水が２００入っているときから、毎分１０の割合で水をくみ出すと、水そうの水は何分で空になりますか。

問題１の答え	４０分
解説	1/3
	水そうには、はじめ２００の水が入っています。 毎分５ずつ水が入ってきますが、毎分１０ずつ水を出します。 このように、図を書いた方がわかりやすくなります。 水が出ていく方が量が多いので、 だんだん水の量は減っていきます。 はじめに２００あった水が、 １分間に　１０−５＝５()ずつ減っていくので、 ２００÷５＝４０(分) で、水そうの水は空になります。

一定の割合で水が流れこんでいる池があります。この池に水が３００入っているときから、毎分３０の割合で水をくみ出したところ、１５分で池の水は空になりました。毎分何リットルの割合で水が流れこんでいますか。

問題２の答え	毎分１０
解説	1/4
	はじめに水は３００あります。 何リットルずつ水が入ってくるかはわかりませんが、 ３０ずつ出すと、 １５分で水はなくなるそうです。 このように、図を書いて考えていきましょう。 毎分□ずつ水が流れこんでくることにします。 ３００÷(３０−□)＝１５ というように、□を使った式を作って、逆算していきましょう。 ３００÷１５＝２０ ３０−２０＝１０ ですから、毎分１０ずつ水が流れこんでいることになります。

毎分５の割合で水が流れこんでいる泉があります。この泉から毎分１５の割合で水をくみ出したところ、３０分で泉の水は空になりました。はじめ、泉には何の水がありましたか。

問題３の答え	３００
解説	1/4
	はじめの水の量を求める問題です。 このように図を書いて、 □を使った式を書いて逆算をします。 １５−５＝１０ ３０×１０＝３００ ですから、答えは３００になります。

毎分５の割合で水が流れこんでいる水そうに、水がいっぱいに入っています。この水そうから、毎分１５の割合で水をくみ出すことのできるポンプ１台を使って水をくみ出すと、２０分で空になります。 　　　(1)　水を全部くみ出した後にポンプを止めると、水そうは何分でいっぱいになりますか。 　　　(2)　いっぱいになった水そうから、このポンプを２台使って水をくみ出すと、何分で空になりますか。

問題４の答え	(1)　４０分　　　　(2)　８分
解説	1/9
	まず、(1)の解説です。 左図のように、はじめの量、１分間に入る量、１分間に出る量をまとめておきます。 さらに、図を書くと、バッチリわかりやすくなります。 □を使った式を作って、逆算をすることにします。 １５−５＝１０ ２０×１０＝２００ ですから、はじめの水の量は２００になります。 いっぱいに入ったときの水の量は、 ２００であることがわかりました。 (1)では、はじめ空で、毎分5ずつ入ってくるのですから、いっぱいになるのに、 ２００÷５＝４０(分)かかります。 次は、(2)の問題です。 (1)で、いっぱいになった水そうには、 ２００の水が入っています。 毎分５ずつ水は入ってきます。 ポンプ１台は、毎分１５ずつ水を出すのですが、 (2)の問題では、ポンプ２台を使うので、 １５×２＝３０()ずつ、水を出すことになります。 左図のようになります。 はじめに２００あって、１分間に ３０−５＝２５()ずつ、水が減っていくので、 ２００÷２５＝８(分)かかります。

３６０の水がたまっている泉があります。この泉には毎分４の割合で水がわき出ています。いま、１台のポンプを使ってこの泉の水をくみ出したところ、２０分で泉は空になりました。これについて、次の問いに答えなさい。 (1)　このポンプは、毎分何の割合で水をくみ出しますか。 (2)　もし、このポンプを２台使って水をくみ出すと、泉は何分で空になりますか。

問題５の答え	(1)　毎分２２　　　　(2)　９分
解説	1/7
	左図のように、まとめておきましょう。 図も書いておきましょう。 １台のポンプを使うと、２０分で泉は空になるので、 このように、□を使った式にします。 あとは逆算ですね。 ３６０÷２０＝１８ １８＋４＝２２ ですから、ポンプ１台では１分間に、 ２２ずつ水を出すことになります。 次は(2)の問題です。 (1)で、ポンプ１台では１分間に ２２の水を出すことがわかりました。 (2)の問題では、ポンプを２台使うので、 ２２×２＝４４()ずつ、水を出すことになります。 ３６０あって、１分間に ４４−４＝４０()ずつ、水が減っていきますから、 ３６０÷４０＝９(分)かかることになります。

「ニュートン算」という名前は、ニュートンの「プリンキピア」という本の中に、「牧牛の問題」として載っていることから名付けられました。

ある牧場で５頭の牛を飼うと３０日で草がなくなりますが、６頭なら２０日で草がなくなります。このとき、８頭の牛を飼うと何日で草がなくなりますか。

問題６の答え	１２日
解説	1/21
	はじめの量、入る量、出る量がわかることが、ニュートン算の基本です。 この問題では、 「はじめの量」は、はじめの草の量です。 「入る量」とは、毎日はえてくる草の量です。 「出る量」とは、牛が食べる草の量です。 まず、「出る量」を�@とします。 この問題では、1頭の牛が1日に食べる量を、�@とします。 「1日に食べる量」ではなくて、 「1頭が1日に食べる量」とするところに注意してください。 表の「出る」のところにも、書いておきましょう。 ちょっと練習してみましょう。 1頭の牛は1日に、�@の草を食べるのでしたね。 では、３頭の牛は、１日にどれだけの草を食べるのでしょう。 ３頭いるのですから、�Bずつ食べることになります。 では、１頭は４日で、どれだけの草を食べるでしょう。 １日で�@食べるのですから、 ４日では�Cだけ食べます。 では、２頭が５日で、どれだけの草を食べるのでしょう。 ２頭いれば、１日に�A食べ、 ５日食べると、 �A×５＝�I 食べることになります。 「かけ算」をすればよいことに注意しましょう。 いまは、５頭が３０日で草を食べるのですから、 ５×３０＝１５０ の量だけ、草を食べることになります。 ５頭が３０日で食べた量は、はじめからはえていた量だけではありません。 というのは、牛が草を食べている３０日間に、草はどんどんはえてくるからです。 はじめからはえていた草と、３０日間で増えた草の合計を、５頭が３０日で食べたのです。左図のように線分図で表しましょう。 次に、６頭が２０日に食べる草の量を求めます。 ６×２０＝１２０ になります。線分図で表すと、 このようになります。 ２つの線分図をよく見比べると、 ３０−２０＝１０(日) で、 １５０−１２０＝３０ の草がはえてきたことがわかります。 １日あたり、 ３０÷１０＝３ ずつ、草ははえてくるのです。 これを、表の「入る」のところに書きこんでおきます。 すると、線分図の「はじめ」のところの量もわかってきます。 まず、３０日でふえる量は、 ３×３０＝９０ です。 はじめの量は、 １５０−９０＝６０ になります。 表に、かきこんでおきます。 あとは、水そうの図で、求めることができますね。 はじめの量は６０で、 １日に３ずつ草がはえてきます。 １頭ならば、１日に１ずつ草を食べますが、 いまは８頭の場合のことを知りたいので、 １日に８ずつ草を食べます。 はじめが６０で、 １日に ８−３＝５　ずつ草が減っていくので、 ６０÷５＝１２(日)で草はなくなります。
補充問題	(　　のところにマウスを近づけると、答えが表示されます。)
	ある牧場で４頭の牛を飼うと１２日で草がなくなりますが、３頭なら２４日で草がなくなります。このとき、５頭の牛を飼うと　　　日で草がなくなります。

ニュートン算は難しそうですが、慣れるとどんどん解いてみたくなってきます。どんどん問題を解きましょう。

ある牧場で７頭の牛を飼うと１０日で草がなくなりますが、１０頭なら５日で草がなくなります。このとき、９頭の牛を飼うと何日で草がなくなりますか。

問題７の答え	６日
解説	1/15
	１頭の牛が１日に食べる量を�@とします。 左図のような練習を解いてみましょう。 ３頭１日なら、３倍なので�B、 １頭４日なら、４倍なので�C、 ２頭５日なら、２×５＝�I になります。 同じようにして、７頭１０日ならば、 ７×１０＝７０ になります。 線分図を書くと、このようになります。 はじめの草だけを食べたのではなく、１０日で増えた草も食べたことに注意しましょう。 同じようにして、１０頭が５日に食べた量は、 １０×５＝５０ になります。 線分図は、このようになります。 ２つの線分図をよく見比べて、 １０−５＝５(日)で、 ７０−５０＝２０ だけ、草が増えたことになります。 １日あたり、 ２０÷５＝４ ずつ、草は増えます。 これを、表の「入る」のところに書いておきます。 １日に�Cずつ増えるのですから、 １０日に増えた量は、 ４×１０＝４０です。 はじめの量は、 ７０−４０＝３０ になります。これも、表に書き込んでおきます。 いまは、９頭の牛を飼うと何日で草がなくなるか、を求める問題です。 はじめの量は３０、 １日に４ずつ増える、ということを、水そうの図に書き込んでおきます。 １頭ならば１日に�@ずつ食べていきますが、いまは９頭いますから、１日に�Hずつ食べていきます。 はじめが３０で、 １日に ９−４＝５ ずつ減っていくので、 ３０÷５＝６(日) で、草はなくなります。
補充問題	(　　のところにマウスを近づけると、答えが表示されます。)
	ある牧場で９頭の牛を飼うと１０日で草がなくなりますが、１０頭なら８日で草がなくなります。このとき、１３頭の牛を飼うと　　　日で草がなくなります。